五次方程的征途
作者：黄逸文（中国科学院数学与系统科学研究院）
在上周四《三次方程的求解之路》一文中，作者给大家讲述了三次方程求解从举步维艰到有突破性进展过程中几位数学家的故事，三次方程求解攻克之后，数学家们又把目光投向了更高阶次方程的求解中来，这条求解之路一走便又是几百年。
暴风雨的前夜
历史的脚步匆匆迈入了18世纪，随着三次方程的尘埃落定，数学家们渐渐将兴趣投到了更高阶的四次、五次方程的通解公式上去。
这些高阶方程的谜团一直困扰了数学家们250多年。在五次方程的求解过程中， 数学家终于凿开了隐藏在冰山下的现代科学，从而将数学带入了精妙绝伦的现代群论。
这一伟大的思维成果，直接奠定了20世纪的物理基础，从此，牛顿的机械宇宙观迈入随机和不确定性的量子世界乃至广袤无垠的时空相对论。一场空前伟大的科学革命如疾风骤雨般来临。生活在21世纪的人类，无不受益于这一伟大的思维盛宴。
在这暴风雨的前夜，历史上最伟大的数学家们悉数登场，他们为五次方程的求解而苦苦思索。这场用汗水和生命浇灌出来的理论之花终于在三次方程求解成功200年后绽放，给后世子孙留下了无穷无尽的智慧宝藏。
迷局丛生
五次方程的挑战很快在欧洲大陆点燃了战火。瑞士数学家欧拉为寻找方程的求解提供了一种新思路。他通过一个巧妙的变换把任何一个全系数的五次方程转化为具有“x^5+ax+b=0”的形式。这一优美的表达让欧拉倾向于可以找出五次方程的通解表达式。
与此同时，法国的天才数学家拉格朗日也在为寻找五次方程的解而废寝忘食。不久以后，他欣喜地发现一种特别的方法，可以将四次方程降阶为三次方程，从而找到了一种简单的求解四次方程的方法，但是遗憾的是，同样的变换却将五次方程升阶为六次方程。
这一挫折并没有打击到拉格朗日的信念，他以自己的执着信念断定五次方程一定存在着某种特殊的变换手段，从而能够成功地找到通解表达式。
此后，五次方程的进展一度陷入迷局。当时五次方程的焦点主要集中在两大问题上。第一个问题是，对N次方程，至少都有一个解吗？第二个问题则更进一步：N次方程如果有解，那么它会有多少个解呢？
这两大问题最终被人类历史上最伟大的数学家高斯所解决。他在1799年证明了第二个问题，即每个N次方程都恰好有且只有N个解。于是自然就推论出五次方程必然有五个解，但是这些解都可以通过公式表达出来吗？
1800年，高斯进一步证明了一般方程的代数解似乎并不存在。不过他仍然乐观地认为：也许严格证明五次方程没有公式解，并没有那么困难。
波澜再起
为了求解五次方程，欧洲大陆的数学家正紧锣密鼓地开展深入研究。1800年，一位远在意大利的内科医生兼数学爱好者鲁菲尼写出了一篇500多页的论文。在该文中，鲁菲尼声称，一般五次方程(以上)没有能用通项公式表达的解（简称无解）。面对着这一”业余民科”的证明，数学家们深表怀疑，又由于篇幅过长，没有人愿意花精力去验证鲁菲尼的过程。
鲁菲尼心有不甘，在此后的两年间两次将自己的证明寄给了拉格朗日，信中，他迫切地恳求拉格朗日的点评，但是仍然石沉大海。眼看着自己的成果无人问津，鲁菲尼并没有灰心，他花了10年时间潜心简化和整理自己的证明，最后在1813年写成了论文：对一般代数方程的反思。
最后，鲁菲尼终于等到了数学界的回音。法国数学会在提交给国王的一份报告里总结过去一百年间的数学进展时提到了鲁菲尼，但是对他论文的评价竟是：虽然鲁菲尼试图证明五次方程无解，但是他肯定做不到。
为五次方程耗费15年精力的鲁菲尼失望到了极点，他在51岁时再次将论文投到了英国皇家学会，很快论文也被无情地拒绝。唯一让他感到欣慰的是，大数学家柯西亲自给他回信肯定了他的工作价值。命运似乎对鲁菲尼过于残酷，他没有等到自己的荣誉就抱憾辞世。在他去世以后，他的成果也在浩如烟海的学术文献中渐渐被众人遗忘。
多年以后，鲁菲尼的论文被人重新发现，尽管证明仍然有漏洞，但是从鲁菲尼开始，人们终于找到了研究五次方程的正确方向：从寻找一般的求解公式到证明五次方程没有公式解。
从此，代数学即将迎来新的篇章。然而，建造现代数学的桥梁远比鲁菲尼的境遇更为坎坷。一条通往现代群论的铁路，却要用今后最杰出的天才数学家们浸染鲜血的枕木来铺就。
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